Τί ονομάζουμε Σύνολο;

Ο Γκέοργκ Καντόρ, στο «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre», έδωσε τον ακόλουθο ορισμό για το σύνολο:

«Σύνολο ονομάζουμε κάθε συλλογή M, (σαφώς) διακριτών αντικειμένων m (που ονομάζουμε «στοιχεία» του συνόλου M).»

Τα αντικείμενα αυτά καλούνται στοιχεία του συνόλου και μπορούν να είναι οτιδήποτε, από αριθμούς ή γράμματα του αλφαβήτου. Ένα σύνολο λοιπόν αποτελείται από στοιχεία. Στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι άλλα σύνολα ή και σύνολα συνόλων. Αν το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο Α τότε λέμε ότι το στοιχείο x περιέχεται στο σύνολο A ή ότι το σύνολο A περιέχει το στοιχείο x ή ακόμα ότι το στοιχείο x είναι μέλος του συνόλου A. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό ${\displaystyle \mathrm {x\in A} }$ αν το x ανήκει στο A και το συμβολισμό ${\displaystyle \mathrm {x\notin A} }$ αν το x δεν ανήκει στο A.

Υπάρχει ένα σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία. Αυτό το σύνολο ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με {} ή με ${\displaystyle \mathrm {\varnothing } }$. Η ύπαρξη αυτού του συνόλου αποτελεί ένα από τα αξιώματα της συνηθέστερης αξιωματικής θεωρίας συνόλων, αυτής των Zermelo–Fraenkel ή ZF. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο.

Σημειώνεται ότι στην ZF, τα σύνολα μπορούν να έχουν στοιχεία μόνο άλλα σύνολα.

Βασική ιδιότητα των συνόλων γενικά, η οποία είναι απόρροια του παραπάνω ορισμού είναι το γεγονός ότι ένα σύνολο καθορίζεται από τα στοιχεία του, δηλαδή ότι αν τα σύνολα Α και Β έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία τότε είναι ίσα.

${\displaystyle \mathrm {A=B} }$ αν και μόνο αν ${\displaystyle \mathrm {\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)} }$

Επιπλέον των παραπάνω απαιτούμε από τα στοιχεία ενός συνόλου να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, το οποίο σημαίνει ότι ένα σύνολο δεν μπορεί να περιέχει περισσότερες από μία φορές ένα στοιχείο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου καλείται πληθικός αριθμός ή πληθάριθμος του συνόλου (συμβολίζεται συνήθως με Ν ή με #). Υπάρχουν πεπερασμένα και άπειρα σύνολα, ανάλογα με το αν ο πληθικός τους αριθμός είναι πεπερασμένος ή άπειρος.

 https://el.wikipedia.org/wiki