Ακαδημαικά μαθήματα στη Θεωρία Συνόλων

 Η Θεωρία Συνόλων

Η Θεωρία Συνόλων είναι μία συναρπαστική ζωντανή μαθηματική θεωρία, με τις δικές της βασικές έννοιες, θεμελιακά αποτελέσματα και προβλήματα, και με σημαντικές εφαρμογές σε άλλες θεωρίες. Η Αξιωματική Συνολοθεωρία θεωρείται από πολλούς ως θεμελίωση των μαθηματικών : εικάζεται ότι όλα τα μαθηματικά αντικείμενα είναι πράγματι σύνολα, και ότι οι ιδιότητές τους είναι πορίσματα των λιτών, κομψών αξιωμάτων για τα σύνολα.

Από την “καθαρή” θεωρία συνόλων, οι Σημειώσεις αυτές καλύπτουν τα βασικά αποτελέσματα για “αφηρημένα σύνολα”, το Αξίωμα Επιλογής, υπερπεπερασμένη αναδρομή, πληθικούς και διατακτικούς αριθμούς. Λιγότερο συνηθισμένη είναι η Ενότητα 10 για “σημειοσύνολα”, που περιέχει αποτελέσματα με γνωστές εφαρμογές στην Ανάλυση και εισάγει τον αναγνώστη στο Πρόβλημα του Συνεχούς, κεντρική ερώτηση της συνολοθεωρίας από τα πρώτα της βήματα.

Υπάρχουν πολλές, απλές Ασκήσεις, που ελέγχουν την κατανόηση καινούριων εννοιών αμέσως μετά την εισαγωγή τους. Στο μάθημα παρουσιάζονται μερικές απ' αυτές, για παραδείγματα και οι υπόλοιπες ανατίθενται στους φοιτητές.

Τα Προβλήματα στο τέλος κάθε κεφαλαίου είναι ποικίλης δυσκολίας, και μερικά απ' αυτά καλύπτουν επιπρόσθετη ύλη. 


Διδάσκων : Αθανάσιος Τσαρπαλιάς

Θέση: Καθηγητής

Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Άπειρη Συνδυαστική, Θεωρία Χώρων Banach, Μιγαδική Ανάλυση

Τομέας: Μαθηματικής Ανάλυσης, Τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών 

 

Περιεχόμενο μαθήματος

1. Διαισθητική εισαγωγή των συνόλων
2. Αξιωματική θεμελίωση κατά Zermelo-Fraenkel
3. Διατακτικοί αριθμοί, πληθάριθμοι
4. Αξιώμα επιλογής και ισοδύναμά του
5. Υποσύνολα των πραγματικών αριθμών, υπόθεση του συνεχούς, γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς
6. Κατασκευάσιμα σύνολα

 

Προτεινόμενα συγγράμματα

Γιάννης Ν. Μοσχοβάκης - “Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία” , Εκδόσεις Νεφέλη, 1993.

 

Μαθησιακοί στόχοι

1. Η αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας συνόλων, κατά Zermelo-Fraenkel
2. Η εξοικείωση με την έννοια του Συστήματος Φυσικών Αριθμών και τα Αξιώματα του Peano
3. Η εξοικείωση με το Αξίωμα της Επιλογής και τις ισοδύναμες διατυπώσεις του
4. Η κατανόηση της έννοιας του διατακτικού αριθμού

 

Ομάδα στόχος

Προπτυχιακοί φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ, ενδιαφερόμενοι για τις θεματικές περιοχές “Θεωρητικά Μαθηματικά”, “Θεωρητική Πληροφορική”, “Αλγόριθμοι”.

 

Προαπαιτούμενα

Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα για το μάθημα.

 

Βιβλιογραφία

Georg Cantor, “Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers”, Dover Publications, New York.

Jean van Heijenoort, “From Frege to Gödel”, Harvard University Press, Cambridge, 1967.
   
Αρχικός κατάλογος » pdf  σημειώσεις των μαθημάτων