Τα Υποσύνολα

Ένα σύνολο X ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Y και συμβολίζουμε με ${\displaystyle \mathrm {X\subseteq Y} }$, εάν κάθε στοιχείο του X είναι και στοιχείο (ανήκει) του Y δηλαδή ισχύει:

${\displaystyle \mathrm {\forall x(x\in X\rightarrow x\in Y)} }$

Παραδείγματα:

• το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων
• ${\displaystyle \mathrm {\{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}} }$
• ${\displaystyle \mathrm {\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}} }$

Αναφέρουμε ότι: το κενό σύνολο ${\displaystyle \mathrm {\varnothing } }$ είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και επίσης κάθε σύνολο Α είναι υποσύνολο του εαυτού του.

• ${\displaystyle \mathrm {\varnothing \subseteq A} }$ για κάθε σύνολο Α
• ${\displaystyle \mathrm {A\subseteq A} }$ για κάθε σύνολο Α

Αν το σύνολο Χ είναι υποσύνολο του Υ αλλά Χ ${\displaystyle \mathrm {\neq } }$ Υ, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Υ το οποίο να μην ανήκει στο Χ, τότε λέμε ότι το σύνολο Χ είναι γνήσιο υποσύνολο του Υ και το συμβολίζουμε με ${\displaystyle \mathrm {X\subset Y} }$ ή με ${\displaystyle \mathrm {X\subsetneq Y} }$.

 

Σημαντικά σύνολα

Ορισμένα σύνολα έχουν μεγάλη μαθηματική αξία και αναφέρονται τόσο συχνά στα μαθηματικά κείμενα που έχουν αποκτήσει ειδικά ονομάτα και συμβολισμό για να αναγνωρίζονται. Από τα πιο σημαντικά είναι τα εξής:

• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {P} } }$, το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {N} } }$, το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών. 
• Αυτό γράφεται και ως {0, 1, 2, 3, ...}.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {Z} } }$, το σύνολο όλων των ακεραίων αριθμών. 
• Αυτό γράφεται και ως {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {Q} } }$, το σύνολο όλων των ρητών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {Q} ={\begin{Bmatrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}:\alpha ,\beta \in \mathbb {Z} ,\beta \neq 0\end{Bmatrix}}} }$.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {R} } }$, το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {C} } }$, το σύνολο όλων των μιγαδικών αριθμών. 
• Αυτό γράφεται και ως {z:z = x + yi, i²=-1}. ${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}\equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {H} } }$, το σύνολο όλων των τετραδονίων. 
• Αυτό γράφεται και ως {z:z = a + bi + cj + dk: i² = j² = k² = ijk = -1}. ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {H} \equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \equiv \mathbb {R} ^{4}} }$.
• ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {R} ^{v}\equiv {\begin{matrix}\underbrace {\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times ...\times \mathbb {R} } \\\mathrm {v\;\pi \alpha \rho {\acute {\alpha }}\gamma o\nu \tau \epsilon \varsigma } \end{matrix}}} }$, το σύνολο των στοιχείων του διανυσματικού χώρου διάστασης ${\displaystyle \mathrm {v\in \mathbb {N} ,\;v>2} }$.

Το καθένα από τα πιο πάνω σύνολα έχει άπειρα στοιχεία, αλλά ισχύει ${\displaystyle \mathrm {\mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{v}} }$